משפט חוצה הזווית במשולשגאומטריה 571 · שיעור 16
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 16: משפט חוצה הזווית במשולש
פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש
1חוצה זווית מחלק את הצלע שמולו ביחס הצלעות
2המשפט ההפוך
35 תרגילים, כולל חוצה זווית פעמיים
משפט + משפט הפוך
משפט חוצה הזווית במשולש
AD חוצה את ∢A במשולש ABC (D על BC)
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
משפט חוצה הזווית
💡 הקטע הצמוד ל־B (כלומר BD) הולך עם הצלע שיוצאת מ־B (כלומר AB)
📐 משפט הפוך: אם BD : DC = AB : AC ← AD חוצה את ∢A
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 משפט
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
תרגיל 1 · חלוקת הצלע · קל
AD חוצה את ∢A. נתון: AB = 12 , AC = 8 , BC = 15
מצאו את BD ואת DC
מצאו את BD ואת DC
BD : DC = AB : AC = 12 : 8 = 3 : 2
משפט חוצה הזווית
BD = 3k , DC = 2k
כותבים יחס בעזרת k
3k + 2k = 15
BD + DC = BC
5k = 15 ⟹ k = 3
כינוס ומחלקים ב־5
BD = 3 · 3 = 9 , DC = 2 · 3 = 6
מציבים k = 3
✅ פתרון סופי: BD = 9 , DC = 6
📐 משפט
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
📐 כלל
יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 2 · מציאת קטע · קל
AD חוצה את ∢A. נתון: AB = 10 , AC = 6 , BD = 5
מצאו את DC ואת BC
מצאו את DC ואת BC
BD : DC = AB : AC
משפט חוצה הזווית
5 : DC = 10 : 6
מציבים
10 · DC = 5 · 6 = 30
פרופורציה: כפל בהצלבה
DC = 3
מחלקים ב־10
BC = 5 + 3 = 8
BC = BD + DC
✅ פתרון סופי: DC = 3 , BC = 8
📐 משפט
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
תרגיל 3 · משוואה · בינוני
AD חוצה את ∢A. נתון: BD = 6 , DC = 4 , AB = x + 4 , AC = x
מצאו את x ואת הצלעות AB ו־AC
מצאו את x ואת הצלעות AB ו־AC
AB : AC = BD : DC
משפט חוצה הזווית
(x + 4) : x = 6 : 4
מציבים
4(x + 4) = 6x
פרופורציה: כפל בהצלבה
4x + 16 = 6x
פותחים סוגריים
16 = 6x − 4x ⟹ 16 = 2x
מעבירים אגפים וכינוס
x = 8
מחלקים ב־2
AB = 8 + 4 = 12 , AC = 8 ✔ (12 : 8 = 6 : 4)
מציבים x = 8
✅ פתרון סופי: x = 8 , AB = 12 , AC = 8
📐 משפט
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 4 · משפט הפוך · בינוני
במשולש ABC: AB = 9 , AC = 6 , D על BC , BD = 6 , DC = 4 , ∢BAD = 40
הוכיחו ש־AD חוצה את ∢A ומצאו את ∢BAC
הוכיחו ש־AD חוצה את ∢A ומצאו את ∢BAC
AB : AC = 9 : 6 = 3 : 2
מצמצמים ב־3
BD : DC = 6 : 4 = 3 : 2
מצמצמים ב־2
BD : DC = AB : AC
שני היחסים שווים
AD חוצה את ∢A
משפט הפוך לחוצה הזווית
∢DAC = ∢BAD = 40
חוצה זווית
∢BAC = 40 + 40 = 80
AD בתוך הזווית
✅ פתרון סופי: AD חוצה זווית , ∢BAC = 80
📐 משפט הפוך
אם ישר מקדקוד מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות האחרות ← הוא חוצה זווית
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 כלל
אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
תרגיל 5 · מורכב: חוצה זווית פעמיים
במשולש ABC: AB = 10 , AC = 8 , BC = 9
AD חוצה את ∢A ו־BI חוצה את ∢B (I על AD). מצאו את BD , DC ואת AI : ID
AD חוצה את ∢A ו־BI חוצה את ∢B (I על AD). מצאו את BD , DC ואת AI : ID
BD : DC = AB : AC = 10 : 8 = 5 : 4
משפט חוצה הזווית ב־△ABC
BD = 5k , DC = 4k
כותבים יחס בעזרת k
5k + 4k = 9 ⟹ k = 1
BD + DC = BC
BD = 5 , DC = 4
מציבים k = 1
ב־△ABD: BI חוצה את ∢B
נתון
AI : ID = AB : BD = 10 : 5 = 2 : 1
משפט חוצה הזווית ב־△ABD
✅ פתרון סופי: BD = 5 , DC = 4 , AI : ID = 2 : 1
📐 משפט
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
📐 כלל
יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC
📐 משפט הפוך
אם ישר מקדקוד מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות האחרות ← הוא חוצה זווית
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
💡 כותבים תמיד: הקטע הצמוד ל־B חלקי הקטע הצמוד ל־C = הצלע מ־B חלקי הצלע מ־C.
בפרק הבא: מקבילית ומשפטי הזיהוי שלה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא